Bienvenido, a continuación te comparto 2 ejercicios de teoría de colas con sus literales y respuestas. Espero te sea muy útil

Literal #1

Un lava carro puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1. Obtenga también:

  • La probabilidad de tener 0 clientes en el sistema.
  • La probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes.
  • La probabilidad de esperar más de 30 minutos en la cola y en el sistema.

Primeramente, sacamos los datos que nos da el literal o enunciado:

Datos:

λ = 9 cliente por hora (esta es la media de servicio que se ofrece al cliente) | Como se encuentra en horas debemos cambiarlo a minutos para esto dividimos [9 clientes / 60 minutos = 0.15]. Esto quiere decir que nuestro valor de λ será 0.15 clientes por minuto.

μ = 0.2 clientes por minutos [este valor será la media de llegada de cada cliente].

Muy bien, primeramente calcularemos el “factor de desempeño del sistema” o “p”.

p = λ /  μ = 0.15 / 0.2 = 0.75 = 75% [Esto quiere decir que el sistema esta ocupado en un 75% del tiempo]

Ahora responderemos los 3 puntos planteados:

1. Ahora ¿como calculamos la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema cuando este se encuentra vacío?

P_0 = (1 – (λ / μ)) ⋅ (λ / μ)^0 = ( 1 – (0.15/0.2)) ⋅ (0.15/0.2)^0 = 0.25 = 25% [El sistema se mostrará ocioso en un 25%]

2. Probabilidad de tener una cola con más de tres clientes:

P_0 = (1 – (λ / μ)) ⋅ (λ / μ)^0 = ( 1 – (0.15/0.2)) ⋅ (0.15/0.2)^0 = 0.25

P_1 = (1 – (λ / μ)) ⋅ (λ / μ)^1 = ( 1 – (0.15/0.2)) ⋅ (0.15/0.2)^1 = 0.1875

P_2 = (1 – (λ / μ)) ⋅ (λ / μ)^2 = ( 1 – (0.15/0.2)) ⋅ (0.15/0.2)^2 = 0.1406

P_3 = (1 – (λ / μ)) ⋅ (λ / μ)^3 = ( 1 – (0.15/0.2)) ⋅ (0.15/0.2)^3 = 0.1055

P (Ls > 3) = 1 – (P_0+P_1+P_2+P_3= 1 – (0.25+0.1875+0.1406+0.1055) = 0.3164

3. La probabilidad de esperar más de 30 minutos en la cola:

Para esto debemos calcular el tiempo promedio que espera un cliente en la cola:

Wq = λ / (μ ( μ – λ )) = 0.15 / (0.2 (0.2 – 0.15)) = 15 minutos es el tiempo de espera promedio de un cliente en la cola.

Luego calculamos el tiempo de espera en cola que según el literal puede ser mayor de 30 minutos:

P ( Wq > t ) = p ⋅ e^( – μ ( 1 – p ) t )= 0.75 ⋅ e ^ (-0.2(1-0.75)30)

P ( Wq > 30 ) = 0.167 = 16.70% 

4. La probabilidad de esperar más de 30 minutos en el sistema:

P ( Ws > t ) = e^( – μ ( 1 – p ) t ) = e ^ (-0.2(1-0.75)30) = 0.2231 = 22.31%

Así es como finalizamos el ejercicio del literal #1. Hemos dado respuesta a cada una de sus interrogantes planteadas.

Literal #2

Un taller de tractores se encuentra atendido únicamente por un empleado. Supongamos que el  cuadro de llegadas se corresponde a un proceso de Poisson, de modo que los tiempos de servicio siguen distribuciones exponenciales. Consideremos que, después de observar la evolución del taller, se estima que la tasa de llegada es de 10 vehículos por día y que el tiempo de servicio es de 1 hora. Suponiendo que el empleado arregla los tractores por estricto orden de llegadas y tomando una jornada laboral de 12 horas, se pide contestar a lo siguiente:

a) Notación de Kendall.

b) Probabilidad de que al llevar el tractor a reparar no lo pueda arreglar en el momento.

c) Número medio de tractores en espera a ser reparados, en estado estacionario.

d) Tiempo medio que debe esperar cada tractor para ser reparado.

e) Tiempo medio que un vehículo está en el sistema.

Así mismo primero ubicamos los datos que nos muestra el enunciado:

Datos:

λ = 10 vehículos atendidos por jornada de trabajo

μ = 12 vehículos por jornada de trabajo

Calcularemos el “factor de desempeño del sistema” o “p”.

p = λ /  μ = 10 / 12 = 0.833

Ahora responderemos a los puntos planteados:

a) Notación de Kendall:

M / M / 1

b) Probabilidad de que no reparen el tractor al momento de llevarlo al taller:

P_0 =1 – ( 1 – p ) = 0.833

c) Número medio de tractores que esperan para su reparación:

λ^2 / (μ ( μ – λ )) = 10^2 / (12(12-10)) = 4.166 tractores

d) Tiempo medio que espera un tractor para su reparación:

λ / (μ ( μ – λ )) = 10 / (12(12-10)) = 0.416 tractores ⋅ 12 horas = 4.992 horas

e) Tiempo medio que un tractor está en el sistema:

Ws = 1 / ( μ – λ ) = 1 / (12-10) = 1/2 = 0.5 ⋅ 12 horas = 6 horas


Hemos así terminado nuestro segundo literal, de la misma manera hemos resuelto todos los puntos planteados. Espero sinceramente te haya ayudado académicamente este apartado.

Haznos saber en los comentarios si deseas mas ejercicios y sus respectivas soluciones.

Saludos…

Categories: Matemáticas

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *